Вопрос по математике:

. Даны точки А(4; –6; 3), В(–5; 2; –5), С(0; –3; –4), D(–6; –3; 0). Найти: а) угол между векторами ; б) угол между прямыми

а) Для определения угла между векторами АВ и CD необходимо найти координаты этих векторов. Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точки А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. То есть, если вектор AB заданный координатами точек A (A_x; A_y; A_z) и B (B_x; B_y; B_z) можно найти, воспользовавшись следующей формулой

AB = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z).

Вычислим координаты вектора АВ:

AB = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z) = (-5 - 4; 2 - (-6); -5 - 3) = (-9; 8; -8).

Вычислим координаты вектора СD:

СD = (D_x - C_x; D_y - C_y; D_z - C_z) = (-6 - 0; -3 - (-3); 0 - (-4)) = (-6; 0; 4).

Угол между векторами AB и CD находится по формуле:

cos α  = (AB x CD) / (|AB| * |CD|).

Найдем скалярное произведение векторов АВ x CD, используя формулу:

АВ x CD = АВ_x * CD_x + АВ_y * CD_y + АВ_z * CD_z = (-9) * (-6) + 8 * 0 + (-8) * 4 = 54 + 0 - 32 = 22.

Вычислим длины векторов |AB| и |CD|, используя формулу:

|AB| = √(АВ_x^2 + АВ_y^2 + АВ_z^2).

|AB| = √((-9)^2 +8^2 + (-8)^2) = √(81 + 64 + 64) = √209.

|CD| = √(CD_x^2 + CD_y^2 + CD_z^2).

|CD| = √((-6)^2 + 0^2 + 4^2) = √(36 + 0 + 16) = √52.

Вычислим угол между векторами AB и CD:

cos α  = 22 / (√209 * √52) = 22 / √10868 = 22 / 2√2717 = 11 / √2717 = (11 * √2717) / (√2717 * √2717) = (11 * √2717) / 2717 = √2717 / 247.

б) для определения угла между прямыми DА и СВ необходимо выполнить такие же действия как в пункте а).

Вычислим координаты векторов DА и СВ:

DA = (A_x - D_x; A_y - D_y; A_z - D_z) = (4 - (-6); -6 - (-3); 3 - 0) = (10; -3; 3).

CB = (B_x - C_x; B_y - C_y; B_z - C_z) = (-5 - 0; 2 - (-3); -5 - (-4)) = (-5; 5; -1).

Найдем скалярное произведение векторов DА x CB:

DА x CB = DА_x * CB_x + DА_y * CB_y + DА_z * CB_z = 10 * (-5) + (-3) * 5 + 3 * (-1) = -50 - 15 - 3 = -68.

Вычислим длины векторов |DA| и |CB|:

DА = √(DА_x^2 + DА_y^2 + DА_z^2) = √(10^2 + (-3)^2 + 3^2) = √(100 + 9 + 9) = √118.

CB = √(CВ_x^2 + CВ_y^2 + CВ_z^2) = √((-5)^2 + 5^2 + (-1)^2) = √(25 + 25 + 1) = √51.

Вычислим угол между прямыми DA и CB:

cos α  = (DA x CB) / (|DA| * |CB|) = -26 / (√118 * √51) = -68 / √6018 = (-68 * √6018) / 6018 = -2√6018 / 177.

Ответ: угол между векторами AB и CD cos α = √2717 / 247; угол между прямыми DA и CB cos α =  -2√6018 / 177.