Вопрос по геометрии:

В равнобедренном треугольнике abc с основанием abугол при вершине с равен 20 градусов. На сторонах ac и bc соответственно отмечены точки P и Q так,что угол PBA равен 40 градусов, а угол QAB равен 50 градусов. Найдите угол BPQ в градусах ​

Ответ:

∠BPQ = 60°

Объяснение:

Раз угол при вершине ∠C = 20°, значит  углы при основании равны (180°-20°) / 2= 80°

Обзначим точкой O пересечение отрезков PB и AQ.

Рассмотрим треугольник  AOB. ∠AOB = 180° - ( ∠PBA + ∠QAB ) = 90° ⇒

треугольник  AOB - прямоугольный ⇒ PB ⊥ AQ

Рассмотрим треугольник QAB: ∠ABQ = 80°, ∠QAB = 50° ⇒

∠AQB = 180° - (∠QAB + ∠ABQ) = 50° ⇒ треугольник QAB - равнобедренный, а так же BO - является высотой к основанию а значит и медианой ⇒ AO = OQ

Рассмотрим треугольники AOP и POQ -

они прямоугольные PB ⊥ AQ

AO = OQ и PO - общая сторона ⇒  AOP и POQ

⇒ ∠BPQ = ∠APB = 180° - ( ∠PBA + ∠ PAB) = 60°