Вопрос по геометрии:

Ребята, help!

На круге обозначены точки A, В, С и D трапеции АВСD (АВ и ВС видно из центра круга под углом
60∘. Найдите радиус окружности, если АВ = √3 см

Ответ:

8

Объяснение:

Условие:  

В трапеции АВСD (АВ||СD) AD=6. Окружность с центром  в точке В и радиусом, равным 5, проходит через точки А, D и С. Найдите диагональ АС.

Решение:  

Обозначим угол ABD через β, а угол DBC через γ. Так как АВ||СD, то угол ABD равен углу BDC,

Треугольники ABD и BDC равнобедренные, так как их боковые стороны AB, BD и BC - радиусы окружности и равны 5. Диагональ АС может быть найдена из треугольник ABC (он тоже равнобедренный, АС - его основание), Надем  АС из свойства синуса угла В при вершине данного треугольника.

Угол B=β+γ, из тругольника BDC γ=180−2β. Тогда угол B=β+180−2β=180−β.

Из равнобедренного треугольника ABC имеем AC=2∗AB∗sin(180−β2)=10∗sin(90−β/2)=10∗cos(β/2).

cos(β/2) найдем из равнобедренного треугольника ABD: cos(β/2)=h/AB, где h - высота данного треугольника (обозначена синей линией на рисунке). h=52−32−−−−−−√=4, тогда cos(β/2)=4.5, следовательно, AC=10∗45=8.

8