Вопрос по геометрии:

50 баллов.

Прямая sa проходит через вершину А квадрата abcd и перпендикулярна плоскости квадрата. Точка О - середина отрезка ab. вычислите градусную меру угла между прямой so и плоскостью ASC, если BC=8cm, SA=4cm.

ОТВЕТ ДОЛЖЕН БЫТЬ 30 ГРАДУСОВ

Решите пожалуйста по возможности с рисунком​

Поместим заданные точки в прямоугольную систему координат Точкой А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.

А(0;0;0), S(0; 0; 4), С(8;8;0), О(0; 4; 0).

Определяем уравнение плоскости ASC по трём точкам.

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости определяется из выражения:                (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек, получаем в виде Ax + By + Cz + D = 0:

32x - 32y + 0z + 0 = 0,   или, сократив на 32: х - у = 0. А = 1, В = -1.

Переходим к вектору SO.

Его координаты: (0-0=0; 4-0=4; 0-4 = -4). SO(0; 4; -4).

Находим скалярное произведение SO на ASC: 0*1 + 4*(-1) + 0*(-4) = -4.

Длины векторов: |SO| = √(0² + 4² + (-4)²) = √32 = 4√2.

Нормального вектора плоскости |ASC| = √(1² + (-1)² + (0)²) = √2.

Теперь можно перейти к ответу.

sina = |-4|/(4√2*√2) = 1/2. а = 30 градусов.

Ответ: угол между прямой SO и плоскостью ASC равен 30°.

Ответ:

Искомый угол равен 30°.

Объяснение:

Определение: Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны. Проведем прямую ОР, параллельную диагонали ВD. ОР перпендикулярна АС, значит OР - проекция наклонной SО на плоскость АSС (плоскость РSС перпендикулярна плоскости АВСD). Тогда искомыё угол - это угол OSP по определению.

АВ = ВС = 8 см, как стороны квадрата. => DВ = 8√2см (как диагональ квадрата). КВ = 4√2 см. Треугольники АКВ и АРО подобны (РО параллельна ВD по построению).

Коэффициент подобия k = АО/АВ = 4/8 = 1/2.

ОР = (1/2)* КВ = 2√2 см.  

SО = √(SA² +АO²) = √(4² +4²) = 4√2см.

Из прямоугольного треугольника OSP:

Sin(<OSP) = OР/SO = 2√2/ 4√2 =1/2.

Ответ: <OSP = arcsin(1/2) = 30°.