Вопрос по геометрии:

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите площадь поверхности сферы описанной около пирамиды.

Δ АВС – равносторонний.

Вершина пирамиды проектируется в точку О.

О– центр вписанной и описанной окружности.

В прямоугольном треугольнике MOA

OA=MA/2=3

катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы.

По теореме Пифагора

MO²=MA²–OA²=6² –3²=27

MO=3√3

Пусть сторона треугольника АВС равна a.

R=a√3/3 – выражение радиуса описанной около правильного треугольника через сторону.

a√3/3=3 ⇒ a=3√3

S _{Δ ABC}=(1/2)a·a·sin60^o=a²√3/4

При найденном значении а=3√3

S _{Δ ABC}=27·√3/4

V=(1/3)·S_осн.·H=(1/3)·S _{Δ ABC}·H=

=(1/3)·(27·√3/4) · 3√3=81/4