Вопрос по геометрии:

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник , каждый внешний угол которого равен 1 градусу?

  Для решения задачи о числе сторон выпуклого многоугольника, определим сначала внутренние углы этого выпуклого многоугольника.

Определение углов выпуклого многоугольника

  Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в одной вершине.   Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный углу многоугольника при этой вершине.  Данный выпуклый многоугольник имеет:

• n - сторон;
• внешние углы β = 1°;
• внутренние углы α;

  Сумма внутреннего и внешнего углов выпуклого многоугольника равна: α + β = 180°;Тогда, внутренний угол α равен:α = 180° - β = 180° - 1° = 179°;

Определение числа сторон выпуклого многоугольника

  Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника Sn равна:Sn = α · n = 179° · n;В то же время, сумма углов выпуклого n-угольника рассчитывается по формуле:Sn = 180° (n – 2);Приравняем правые части этих выражений, тогда:179° · n = 180° (n – 2);Решая это уравнение, получаем:180° ·  n - 179° · n = 360°;1° ·  n = 360°;n = 360;Ответ: Выпуклый многоугольник имеет 360 сторон.

 

Так как каждый внешний угол выпуклого многоугольника равен 1°, то каждый внутренний угол выпуклого многоугольника равен 180° - 1° = 179° (так как внутренний и внешний углы многоугольника являются смежными, а сумма смежных углов равна 180°).Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле:S = 180° * (n – 2),где n — количество сторон выпуклого многоугольника.Так как все углы выпуклого многоугольника равны по 179°, то сумма всех углов будет равна 179° * n.Таким образом:180° * (n – 2) = 179° * n;180° * n – 180° * 2 = 179° * n;180° * n - 360° = 179° * n;180° * n - 179° * n = 360°;1° * n = 360°;n = 360°/1° (по пропорции);n = 360.Ответ: выпуклый многоугольник, каждый внешний угол которого равен 1°, имеет 360 сторон.