Вопрос по геометрии:

дана треугольная призма abca1b1c1 где A(2,-1,1) B(5,5,4) C(3,2,-1) A1 (4,1,3) а)Найдите обьем призмы ABCA1B1C1 б) площадь грани AA1B1B в) высоту призмы г) угол между ребрами AA1 и BC д) угол между гранями AA1B1B и ABC.

Дана треугольная призма ABCA1B1C1, где A (1, 7, 4), B (1, 2, –1), C (4, 3, 1), A1 (1, –4, 2).

Найдите: а) объем призмы ABCA1B1C1;

Находим векторы:

АВ 0 -5 -5 0 -5

АС 3 -4 -3 3 -4

АА_1 -3 -7 1 -3 -7

Находим смешанное произведение векторов

0 -45 105

-60 0 -15 =

= 0 + (-45) + 105 - 60 - 0 - (-15) = 135 .

V = 135/2 = 67,5 куб.ед.

б) площадь грани АСС1А1;

Векторы найдены: АС 3 -4 -3

АА_1 -3 -7 1

Находим их векторное произведение.

i j k i j

-3 -7 1 -3 -7 АА_1

3 -4 -3 3 -4 АС

i* 21 j* 3 k* 12 I = j = k =

j* 9 i* -4 k* -21 = -4 -6 33

16 36 1089 = 1141.

S = √1141 = 33,77869151.

в) высоту призмы;

Находим площадь основания.

i j k i j

0 -5 -5 0 -5 АВ

3 -4 -3 3 -4 АС

i* 15 j* -15 k* 0 I = j = k =

j* 0 i* 20 k* -15 = -5 -15 15

25 225 225 = 475.

So = (1/2)√475 = 10,89724736 .

Тогда H = V/So = 67,5/((1/2)√475) = 6,194224815

г) угол между ребрами BС и АA1;

Вектор ВС 

x  y   z

3  1   2                модуль равен √14

АА_1  -3  -7   1       модуль равен √59

cos a = (3*(-3) + 1*(-7) + 2*1)/( √14*√59) = -14/√826 = -0,4871223

Угол равен 2,079587966 радиан или 119,1516136 градуса.

д) угол между гранями ABB1A1 и A1B1С1.

Находим уравнения плоскостей по трём точкам:

плоскость АВВ1А1

-5 x + -15 y + 15 z + -85 = 0 .

плоскость А1В1С1.

Для этого добавляем недостающие координаты точек В1 и С1.

Точка В_1        Точка С_1` 

x   y     z           x    y     z

-2   -5 0            1   -4     2 .

Уравнение:

-40 x + 15 y + -15 z + -5 = 0 .

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|             250  

√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²) = 986,7877178

cos = 0,253347296

угол 1,314657448    75,32432328

    радиан        градус