Вопрос по математике:

В ящике лежат 58 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 976 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1036 г.
а) Могло ли овощей меньше и больше 1000г быть поровну?
б) Могло ли в ящике оказаться 12 овощей массой ровно 1000г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Ответ:

а) нет

б) нет

в) 240

Пошаговое объяснение:

Заметим, что количество овощей с массой ровно 1000г никак не влияет на общую среднюю массу, а также то, что средняя масса только тех овощей, которые либо больше либо меньше 1000г, тоже равна 1000г.

а) Если бы их было бы поровну, их средняя масса равнялась бы (976+1036)/2=1006г, а должна быть 1000г.

б) Пусть х - кол-во овощей с массой менее 1000г, у - более 1000г.

Тогда х+у=46 .....(1)

Их общая масса М=976х+1036у. С другой стороны, М=1000(х+у)

Имеем уравнение: 976х+1036у=1000(х+у)

Сокращая, получим: 3у=2х .....(2)

Решая совместно (1) и (2), получим: 5у=92, что невозможно, так как у- натуральное.

в) Пусть по-прежнему х - количество овощей с массой меньше 1000г, и а - масса самого легкого овоща.

Тогда (х-1) других овощей не могут весить более 999(х-1) г, следовательно общая масса х овощей не может быть более (999(х-1)+а)г, с другой стороны эта масса равна 976х грамм. Запишем неравенство:

999(х-1)+а ≥ 976х ⇒ а ≥ 999-23х ....(3)

Из этого неравенства понятно, что чем больше х, тем меньше может быть а. Это понятно и из общих соображений: чем больше овощей весом меньше 1000г, тем более легкий овощ они смогут компенсировать своей массой, большей чем средняя.

Осталось найти максимально возможное количество овощей до 1000г - х

Имеем из пункта б): 3у=2х .....(2).

С другой стороны х+у ≤ 58 .... (4).

Поставляя значение х из (2) в (4), получим: 5х ≤ 174; х  ≤ 34,8.

х должно быть натуральным и делиться на 3 (из уравнения (2))

Максимальное значение х, которое этому удовлетворяет х=33

Тогда у=22, и средняя масса х+у овощей равна: Мср=(33*976+22*1036)/55=1000г - все в порядке

Подставляя значение х в неравенство (3), найдем а:

а ≥ 999-23*33=240

Значит, минимальное значение а - 240. Остальные 32 овоща с массой до 1000г. должны при этом весить 999г. Проверяем среднюю массу:

Мср<1000 = (999*32+240)/33=976 - все в порядке