• Вопрос по математике:

    Найти первые пять членов разложения дифференциального уравнения в степенной ряд

    y’’+(y’)^2=2, y(1)=1, y’(1)=1

    • Автор:

      kaydencedouglas

  • Конечно, в степенной ряд ( то есть в ряд Тейлора) раскладывается не само дифференциальное уравнение, а его решение.

    В общем виде ряд Тейлора функции y(x) в точке a имеет вид

    y(x)=y(a)+y'(a)(x-a)+\frac{y''(a)}{2!}(x-a)^2+\ldots +\frac{y^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\ldots

    В нашем случае, естественно, a=1. По условию y(a)=y(1)=1; y'(1)=1.

    Дифференциальное уравнение запишем в виде

    y''=-(y')^2+2\Rightarrow y''(1)=-(1)^2+2=1.

    Продифференцировав дифференциальное уравнение, получаем

    y'''=-2y'y''\Rightarrow y'''(1)=-2\cdot 1\cdot 1=-2.

    Еще раз продифференцируем дифференциальное уравнение:

    y^{(4)}=-2(y'')^2-2y'y'''\Rightarrow y^{(4)}(1)=-2\cdot 1^2-2\cdot 1\cdot (-2)=2\Rightarrow

    y(x)=1+(x-1)+\frac{1}{2}(x-1)^2-\frac{1}{3}(x-1)^3+\frac{1}{12}(x-1)^4+\ldots

    • Отвечал:

      starrrcrq
    • 0

    Если функция у(х) имеет все производные до (n+1) -го порядка включительно, то в окрестности точки х=а ( т.е. на некотором интервале. содержащем точку х=а) справедлива формула Тейлора.

    Пусть искомая функция у(х) разложена в ряд Тейлора

    у(х)=у(а)+(х-а)у'(а)/1!+(х-а)²y"(а)/2!+...+(x-a)⁽ⁿ⁾у⁽ⁿ⁾(a)/n!+Rₙ(x).

    Два первых коэффициента даны в условии задачи, третий получим при подстановке  неизвестных величин в данное уравнение, а следующие два найдем путем последовательного дифференцирования данного уравнения.

    y"=-(у')²+2; y"(1)=-1+2=1; у'''=-2y'* y''   у'''(1)=-2y'(1)*y"(1)=-2

    у⁽⁴⁾=-2y''*y''-2y'*y''';  у⁽⁴⁾(1)=-2(y''(1))²-2y'(1)y'''(1)=-2*1²-2*1*(-2)=-2+4=2

    у(х)=1+(х-1)+((х-1)²/2)-(2*(х-1)³/(2*3))+((х-1)⁴*2)/(2*3*4))+...

    или окончательно после упрощения

    у(х)=1+(х-1)+((х-1)²/2)-((х-1)³/3)+((х-1)⁴*/12+...

    Ответ первые пять членов разложения в ряде Тейлора

    у(х)=1+(х-1)+((х-1)²/2)-((х-1)³/3)+((х-1)⁴*/12+...

    • Отвечал:

      twiggyr2pf
    • 0

    Ответов нет, но ты это испарвиш!

Еще 4 ненужных тебе вопроса, но это важно для поиска