Вопрос по математике:

Решите систему неравенств и укажите наименьшее целое решение для каждой из них 1) {x+4/x-2<=0 {x(x-5)<0 2) {x-6/x+10>=0

Решаем системы методом интервалов:

1) (x + 4)/(x - 2) <= 0; x(x - 5) < 0.

Находим корни первого неравенства:

х + 4 = 0; х = -4;

х - 2 = 0; х = 2.

Отмечаем на числовой прямой числа -4 и 2, указываем дугами интервалы, расставляем знаки, начиная с крайнего правого (+). Получается (+) -4 (-) 2 (+).

Так как первое неравенство имеет знак <= 0, то решение [-4; 2].

Находим корни второго неравенства:

х = 0;

х - 5 = 0; х = 5.

Отмечаем на числовой прямой числа 0 и 5, указываем дугами интервалы, расставляем знаки, начиная с крайнего правого (+). Получается (+) 0 (-) 5 (+).

Так как первое неравенство имеет знак < 0, то решение (0; 5).

Переносим на одну прямую оба решения, штрихуем нужные участки прямой. Там, где штриховка совпала, и есть решение системы неравенств: (0; 2].

Наименьшее целое решение равно 1.

Далее работаем по данному образцу.

2) (x - 6)/(x + 10) >= 0; (x - 6) >= 0.

Корни первого неравенства -10 и 6: (+) -10 (-) 6 (+). Знак неравенства >= 0, значит решение неравенства (-∞; -10] и [6; +∞).

Решение второго неравенства [6; +∞).

Решение всей системы неравенств [6; +∞).

Наименьшее целое решение равно 6.

3) (x^2 - 4)/x > -3; x < 4.

Преобразуем первое неравенство:

(x^2 - 4)/x + 3 > 0;

(x^2  + 3х - 4)/x > 0;

x^2  + 3х - 4 = 0. D = 9 + 16 = 25 (√D = 5);

х₁ = (-3 - 5)/2 = -4; х₂ = (-3 + 5)/2 = 1.

Первое неравенство имеет вид (х + 4)(х - 1)/x > 0.

Корни первого неравенства: -4, 0 и 1: (-) -4 (+) 0 (-) 1 (+). Знак неравенства > 0, значит решение неравенства (-4; 0) и (1; +∞).

Решение второго неравенства (-∞; 4).

Решение всей системы неравенств (-4; 0) и (1; 4).

Наименьшее целое решение равно -3.

4) (6 + x^2)/x >= 5; 1 - x < 0.

Преобразуем первое неравенство:

(6 + x^2)/x - 5 >= 0;

(6 + x^2 - 5х)/x >= 0;

x^2 - 5х + 6 = 0. D = 25 - 24 = 1 (√D = 1);

х₁ = (5 - 1)/2 = 2; х₂ = (5 + 1)/2 = 3.

Первое неравенство имеет вид (х - 2)(х - 3)/x >= 0.

Корни первого неравенства: 0, 2 и 3: (-) 0 (+) 2 (-) 3 (+). Знак неравенства >= 0, значит решение неравенства [0; 2] и [3; +∞).

Корень второго неравенства: 1 - x < 0; х > 1.

Решение второго неравенства (1; +∞).

Решение всей системы неравенств (1; 2] и [3; +∞).

Наименьшее целое решение равно 2.