Вопрос по математике:

Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии bn с положительными членами зная что b2=1,2 и b4=4,8

Согласно условию задачи, дана геометрическая прогрессия bn, в которой второй член b2 = 1.2, а четвертый член b4 = 4.8.Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 * qn - 1, где b1 - первый член геометрической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии, можем записать следующие соотношения:b1 * q2 - 1 = 1.2;b1 * q4 - 1 = 4.8.Решаем полученную систему уравнений.Разделив второе уравнение на первое, получаем:b1 * q3 / (b1 * q)= 4.8 /1.2;q² = 4;q² = 2².Согласно условию задачи, данная геометрической прогрессии имеет положительные члены, следовательно, q = 2.Подставляя найденное значение q в соотношение b1 * q = 1.2, получаем;b1 * 2 = 1.2;b1 = 1.2 / 2;b1 = 0.6.Используя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1 - qⁿ) / (1 - q) при n = 8, находим сумму восьми первых членов данной геометрической прогрессии:S8 = 0.6 * (1 - 28) / (1 - 2) = 0.6 * (1 - 256) / (-1) = 0.6 * 255 = 153.Ответ: сумма восьми первых членов данной геометрической прогрессии равна 153.

Согласно условию задачи, необходимо найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии, в которой второй член равен 1.2, а четвертый член равен 4.8.

Данную задачу можно решать двумя способами

1. Найти восемь первых членов данной геометрической прогрессии и сложив их, найти их сумму.
2. Найти первый член b1 и знаменатель q данной геометрической прогрессии, а затем воспользоваться формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1 - qⁿ) / (1 - q).

Воспользуемся вторым способом решения как более быстрым и рациональным.

Составим план решения данной задачи

• Составляем систему уравнений для нахождения первого члена b1 и знаменателя q данной геометрической прогрессии.
• Решаем полученную систему уравнений и находим b1 и q.
• Подставляя найденные значения b1 и q, а также значение n = 8 в формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, находим искомую сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.

Решение задачиСоставляем систему уравнений

Согласно условию задачи, в данной прогрессии b2 = 1.2 и b4 = 4.8.

Подставляя в формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 * q^{n - 1} значения n = 2 и n = 4, получаем следующие соотношения:

b1 * q^{2 - 1} = 1.2;

b1 * q^{4 - 1} = 4.8.

Решаем полученную систему уравнений

Разделив второе уравнение на первое, получаем: 

b1 * q^{4 - 1} / (b1 * q^{2 - 1} ) = 4.8 / 1.2;

b1 * q³ / (b1 * q¹ ) = 4;

q³ / q = 4;

q² = 2².

Полученное уравнение имеет два корня: q = -2 и q = 2.

Зная q, находим b1.

Находим b1 при q = -2.

Подставляя данное значение q = -2 в соотношение b1 * q = 1.2, получаем:

b1 * (-2) = 1.2;

b1 = 1.2 / (-2);

b1 = -0.6.

Согласно условию задачи, все члены последовательности bn положительны, следовательно, значение  q = -2  не подходит.

Находим b1 при q = 2.

Подставляя данное значение q = 2 в соотношение b1 * q = 1.2, получаем:

b1 * 2 = 1.2;

b1 = 1.2 / 2;

b1 = 0.6.

Таким образом, мы нашли первый член b1 и знаменатель q данной прогрессии, а именно:

b1 = 0.6;

q = 2.

Находим сумму восьми первых членов  данной геометрической прогрессии

Подставляя найденные значения b1 = 0.6  и q = 2, а также значение n = 8 в формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1 - qⁿ) / (1 - q), получаем:

S8 = 0.6 * (1 - 2⁸) / (1 - 2) = 0.6 * (1 - 256) / (-1) = 0.6 * (- 255) / (-1) = 0.6 * 255 = 153.

Ответ: сумма восьми первых членов геометрической прогрессии равна 153.