Вопрос по математике:

упростить выражение по разности косинусов 1.cos(п/4-b)-cos(п/4+b) 2. cos^2(a-п/4)- cos^2(a+п/4)

Исходя из формул преобразования суммы функций, данные по условию выражения можно преобразовать по формулам:

cos α – cos β = - 2 * sin (α + β)/2 * sin (α - β)/2 — разность косинусов;

cos α + cos β = 2 * cos (α + β)/2 * cos (α - β)/2.

1. По условию α = π/4 – b, β = π/4 + b, тогда:

cos (π/4 – b) – cos (π/4 + b) = - 2 * sin (π/4 – b + π/4 + b)/2 * sin (π/4 – b – (π/4 + b))/2 = - 2 * sin ((2 * π)/4)/2 * sin (π/4 – b – π/4 - b)/2 = - 2 * sin (π/2 : 2) * sin (2 * b)/2 = - 2 * sin (π/2 * 1/2) * sin b = - 2 * sin (π/4) * sin b = - 2 * sin (45°) * sin b = - 2 * √2/2 * sin b = - √2 sin b.

1. По условию α = a - π/4, β = a + π/4. По формулам сокращенного умножения:

cos² (a - π/4) – cos² (a + π/4) = (cos (a - π/4) – cos (a + π/4)) * (cos (a - π/4) + cos (a + π/4))

2.1. cos (a - π/4) – cos (a + π/4) = - 2 * sin (a - π/4 + a + π/4)/2 * sin (a - π/4 – (a + π/4))/2 = - 2 * sin (2 * a)/2 * sin (a - π/4 – a - π/4)/2 = - 2 * sin a * sin (- 2π/4 : 2) = - 2 * sin a * sin (- π/2 * 1/2) = - 2 * sin a * sin (- π/4) = 2 * sin a * sin (π/4) = 2 * sin a * sin (45°) = 2 * sin a * √2/2 = √2 sin a.

2.2. cos (a - π/4) + cos (a + π/4) = 2 * cos (a - π/4  + a + π/4)/2 * cos (a - π/4  - (a + π/4))/2 = 2 * cos (2 * a : 2) * cos (a - π/4 – a - π/4)/2 = 2 * cos a * cos (- 2π/4 : 2) = 2 * cos a * cos (- π/4) = 2 * cos a * cos (π/4) = 2 * cos a * cos (45°) = 2 * cos a * √2/2 = √2 cos a.

2.3. √2 sin a * √2 cos a = 2 * sin a * cos a = sin 2a.