Вопрос по математике:

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см а двухгранный угол при основании равен 60 найти объем пирамиды

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2G8WlN2).

Проведем высоту пирамиды ОД. Тогда в прямоугольном треугольнике ДОН определим длины катетов ОН и ОД.

Угол НДО = (180 – 90 – 60) = 30⁰, тогда длина катета ОН = ДН / 2 = 4 / 2 = 2 см.

Тогда, по теореме Пифагора, ДО² = ДН² – ОН² = 16 – 4 = 12.

ДО = 2 * √3 см.

Так как в основании пирамиды равносторонний треугольник то его высоты, медианы и биссектрисы, в точке их пересечения делятся в отношении 2 / 1, тогда ОВ = 2 * ОН = 2 * 2 = 4 см.

Тогда высота ВН = ВО + ОН = 4 + 2 = 6 см.

Через формулу высоты равностороннего треугольника определим его сторону.

ВН = АС * √3 / 2 = 6 см.

АС = 12 / √3 = 4 * √3 см.

Определим площадь основания пирамиды.

Sосн = ВН * АС / 2 = 6 * 4 * √3 / 2 = 12 * √3 см2.

Определим объем пирамиды.

V = Sосн * ДО / 3 = 12 * √3  *  2 * √3 / 3 = 24 см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 24 см³.