Вопрос по математике:

Решите дифференциальное уравнение 1 порядка

Пример 1.Для решения данного дифференциального уравнения необходимо привести его к виду, когда можно применить метод разделения переменных. Для этого разделим обе части уравнения на xy: y' = e(y/x) + y/x Заменим e(y/x) на u и произведем замену переменных: y = vx y' = v'x + v Подставляем эти выражения в исходное уравнение: v'x + v = u + v v'x = u Разделяем переменные и интегрируем: ∫ du / u = ∫ dx / x ln|u| = ln|x| + C u = Cx Заменяем u на e(y/x): e(y/x) = Cx Решаем относительно y: y = x ln(Cx) Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y = x ln(Cx) где С - произвольная постоянная.Пример 2Для решения данного дифференциального уравнения можно воспользоваться методом разделения переменных. Для этого перепишем уравнение в виде: y' = (x+y)/(x-y) Разделим обе части уравнения на (x+y): y' / (x+y) = 1 / (x-y) Заменим (x-y) на u и произведем замену переменных: x = (u+v) / 2 y = (u-v) / 2 y' = (u' - v') / 2 Подставляем эти выражения в исходное уравнение: (u' - v') / 2(u+v) = 1 / u Умножаем обе части уравнения на 2u(u+v): (u' - v')2 = 2u(u+v) Разделяем переменные и интегрируем: ∫ du / u = ∫ dv / (2v) ln|u| = ln|v| / 2 + C u = Cv^2 Заменяем u на (x+y) и v на (x-y): x + y = C(x-y)^2 Раскрываем скобки и переносим все слагаемые в левую часть уравнения: Cx^2 - 2Cyx + (C+1)y^2 - x = 0 Это уравнение является уравнением конического сечения. Для его решения можно воспользоваться методом поворота координат, который сводит уравнение к каноническому виду. Однако, можно заметить, что при C=0 уравнение принимает вид y = -x, что является частным решением исходного дифференциального уравнения. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения име ет вид: x + y = C(x-y)^2 или y = -x, где С - произвольная постоянная.