здравствуйте. помогите пожалуйста

Вопрос по математике:
здравствуйте. помогите пожалуйста найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию (1+x^2)y'+y=y^2arctgx y(0)=1
- Автор:
  moisés29
Ответ:
Это уравнение является уравнением Бернулли.Очевидно, что функция $y = 0$ является решением уравнения. Разделим обе части на $y^2$ , предполагая, что $y eq 0$ : $(1+x^2) \frac{y'}{y^2} + \frac{1}{y} = arctgx$ .Сделаем замену $\frac{1}{y} = z$ , тогда $z' = -\frac{y'}{y^2}$ и уравнение принимает вид $-(1+x^2)z' + z = arctgx$ .Получили линейное неоднородное уравнение. Решим его методом вариации постоянной. Для этого найдем решение соответствующего однородного уравнения: $-(1+x^2)z' + z = 0 \Leftrightarrow (1+x^2)z' - z = 0$ .Это уравнение с разделяющимися переменными. $(1+x^2) \frac{dz}{dx} - z = 0 \\ \frac{dz}{z} = \frac{dx}{1+x^2} \\ \int \frac{dz}{z} = \int \frac{dx}{1+x^2} \\ lnz = arctgx + C \\ z = Ce^{arctgx}$ .Заменим постоянную C новой неизвестной функцией C(x) и в таком виде будем искать решение неоднородного уравнения: $z = C(x)e^{arctgx} \\ (1+x^2)(C(x)e^{arctgx})' + C(x)e^{arctgx} = -arctgx \\ (1+x^2)C'(x)e^{arctgx} + C(x)e^{arctgx} - C(x)e^{arctgx} = -arctgx \\ (1+x^2)C'(x)e^{arctgx} = -arctgx \\ C'(x)=-\frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2} \\ C(x) = -\int\frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2}dx$ .Сделаем замену в интеграле: $t = arctgx\\ C(x) =-\int\frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2}dx = -\int te^{-t}dt$ .Интеграл легко берется по частям (оставляю на вас): $C(x) = (t+1)e^{-t} + C = (arctgx+1)e^{-arctgx} + C$ , где C - произвольная постоянная.Таким образом, $z = C(x)e^{arctgx} = ((arctgx+1)e^{-arctgx} + C)e^{arctgx} = Ce^{arctgx}$ $+arctgx + 1$ .Вспоминаем, что $\frac{1}{y} = z$ , тогда $y = \frac{1}{Ce^{arctgx}+arctgx+1}$ - общее решение.Теперь воспользуемся начальным условием y(0) = 1: $\frac{1}{Ce^{arctgx} + arctgx + 1} = 1\\ \frac{1}{Ce^{arctg0} + arctg0 + 1} = 1 \\ C = 0$ .Значит, искомая функция есть $y = \frac{1}{arctgx + 1}$ .
- Отвечал:
  donovansu7z
- 0
Ответов нет, но ты это испарвиш!

Еще 4 ненужных тебе вопроса, но это важно для поиска