Вопрос по алгебре:

ПОМОГИТЕ С ФУНКЦИЕЙ! y=4x/(16+x^2)

Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.

y=4x/(4+x^2)

1)x=Re:y=[-1;0)U(0;1]

2)y=0->x=0

3)y(-x)=-4x/(4+(-x)^2)=-(4x/(4+x^2))=-y(x)-нечетная

4)непериодическая

5)y'=(4(4+x^2)-4x*2x)/(4+x^2)^2=(16+4x^2-8x^2)/(4+x^2)=4(4-x^2)/(4+x^2)^4

x<-2->y'<0->y убывает

x=-2->y'=0->y=-1-минимум

-2<x<2->y/>0->y возрастает

x=2->y'=0->y=1-максимум

x>2->y/<0->y убывает

6)y"=4(-2x(4+x^2)^4-(4-x^2)*3(4+x^2)^3*2x)/(4+x^2)^8=4(-2x(4+x^2)-6x(4-x^2))/(4+x^2)^5=8x(-4-x^2-12+3x^2)/(4+x^2)^5=

=16x(x^2-8)/(4+x^2)^5

x<2V2->y"<0->y-выпуклая (V-кв. корень)

x=-2V2->y"=0->y=-2V2/3-перегиб

-2V2<x<0->y">0->вогнутая

x=0->y"=0->y=0-перегиб

0<x<2v2->y"<0-выпуклая

x=2V2->y"=0->y=2V2/3-перегиб

x>2V2->y">0->вогнутая

7)Асимптоты

а) вертикальных нет, так как нет разрывов второго рода.

б) горизонтальные:

y=lim(x->беск.) 4x(4+x^2)=0->