Вопрос по геометрии:

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC , длины катетов которого 1.ребра AA1 BB1 CC1 равны по 1. точка M является серединой ребра A1B1 , точка N центром грани CC1B1B , а точка K центром грани AA1C1C используя векторы , найдите обьем пирамиды AMNK .

a) Докажите, что KM перпендикулярно AC.

Проведём секущую плоскость через точку К перпендикулярно грани АА1С1С. 

Так как точка К - это середина А1В1, то эта плоскость пересечёт сторону АС в половине её половины, то есть отсечёт (1/4) АС и это как раз точка М, которая делит ребро AC в отношении AM:MC = 1:3.

А любая прямая, в том числе и КМ, лежащая в плоскости, перпендикулярной АС, будет перпендикулярна АС.

Условие доказано.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB=6, AC=8 и AA1 =3.

Чтобы определить этот угол, надо найти плоский угол, а для этого надо спроецировать отрезок КМ на плоскость АВВ1.

Пусть проекция точки М на эту плоскость - точка М1. ММ1 ⊥ АВ.

Проекция точки К на АВ - точка К1.

Определяем параметры отрезков на основании АВС.

Высота из точки В на АС - это ВД.

ВД = √(АВ²-(АС/2)²) = √(6²-(8/2)²) = √(36-16) = √20 = 2√5.

Из подобия треугольников К1М = (1/2)ВД = √5.

Отрезок: КМ = √((К1М)²+(КК1)²) = √(5+9) = √14.

        К1М1 = К1М*cos(B/2) = √5*(2√5/6) = 5/3.

        КМ1 = √((К1М1)²+(КК1)²) = √((25/9)+9) = √106/3.

Отсюда определяем косинус искомого угла:

cos(M1KM) = KM1/KM = (√106/3)/√14 ≈  0,917208.

Отсюда угол между отрезком КМ и плоскостью АВВ1 равен 0,409782 радиан или 23,47879°.

Ответ: угол между прямой KM и плоскостью ABB1 равен 23,47879°.