Вопрос по геометрии:

сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Ответ:

1.Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма.  AOD = COB по первому признаку равенства треугольников (OD = OB, AO = OC по условию теоремы, ∠ AOD = ∠ COB, как вертикальные углы). Следовательно,  OBC =  ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана. 

2.Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм. Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC. Тогда Δ ADB = Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (ADB = CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая). Следовательно, ∠ ABD = ∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана. 

3.Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.  Пусть дан четырехугольник ABCD.  DAB = BCD и ABC = CDA. Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º,  DAB +  BCD +  ABC +  CDA.= 360 . Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то DAB + ABC = 180 º и  BCD +  CDA = 180 º. Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 , поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.