Вопрос по математике:

Исследовать функцию и построить её график,используя производную функции
y=x^2-5x+4 ПОДРОБНО

Для исследования функции и построения её графика, начнём с нахождения производной функции y = x^2 - 5x + 4.

Для этого применим правила дифференцирования для каждого члена функции:

y' = (2x^1 - 5 * 1) = 2x - 5.

Теперь, используя производную, мы можем проанализировать свойства функции:

1. Нули функции (x, в которых y = 0):

0 = x^2 - 5x + 4

x^2 - 5x + 4 = 0

(x - 4)(x - 1) = 0

x = 4 или x = 1.

Таким образом, нули функции находятся в точках (4, 0) и (1, 0).

2. Знак производной:

Поскольку y' = 2x - 5, то производная положительна при x > 5/2 и отрицательна при x < 5/2.

3. Экстремумы:

Функция имеет минимум или максимум в точке, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, функция имеет минимум в точке x = 5/2.

4. Вогнутость и выпуклость:

Функция вогнута вверх, так как производная положительна при x > 5/2, а выпукла вниз при x < 5/2.

Теперь построим график функции y = x^2 - 5x + 4:

```

|

10 + .

| .

8 + .

| .

6 + .

| .

4 + . .

| .

2 + .

|_____________________________________

0 1 2 3 4 5 6 7 8

```

На графике видно, что функция представляет собой параболу, направленную вверх. Минимум функции находится в точке (5/2, -9/4). График функции пересекает ось ординат в точке (0, 4).

Таким образом, мы провели исследование функции и построили её график, используя производную.