Вопрос по математике:

Различные натуральные числа x

x и y

y меньше 100

100, а их последние цифры совпадают. Известно, что неполное частное от деления x

x на 9

9 равно остатку от деления y

y на 9

9, а неполное частное от деления y

y на 9

9 равно остатку от деления x

x на 9

9. Чему может быть равна сумма x+y

x+y? Укажите все возможные варианты.

x = 10a + c < 100; y = 10b + c < 100

Неполное частное от деления x на 9 равно остатку от деления y на 9.

Неполное частное от деления y на 9 равно остатку от деления x на 9.

x = 9k + p; y = 9p + k

Сумма:

x + y = 9k + p + 9p + k = 10k + 10p = 10(k + p)

То есть сумма должна быть кратной 10.

Но мы знаем, что:

x = 10a + c; y = 10b + c.

Сумма:

x + y = 10a + 10b + 2c = 10(k + p)

Отсюда:

2c = 10(k + p) - 10a - 10b = 10(k + p - a - b)

c = 5(k + p - a - b)

Это значит, что с = или 0, или 5.

Теперь подбираем пары (x; y), так, чтобы было:

x = 9k + p; y = 9p + k

Заметим, что остатки при делении на 9: p < 9 и k < 9

Если x = 0 = 9*0 + 0, y = 9*0 + 0 = 0 | Если x = 5 = 9*0 + 5, y = 9*5 + 0 = 45

Если x = 10 = 9*1 + 1, y = 9*1 + 1 = 10 | Если x = 15 = 9*1 + 6, y = 9*6 + 1 = 55

Если x = 20 = 9*2 + 2, y = 9*2 + 2 = 20 | Если x = 25 = 9*2 + 7, y = 9*7 + 2 = 65

Если x = 30 = 9*3 + 3, y = 9*3 + 3 = 30 | Если x = 35 = 9*3 + 8, y = 9*8 + 3 = 75

Если x = 40 = 9*4 + 4, y = 9*4 + 4 = 40 | Если x = 45 = 9*5 + 0, y = 9*0 + 5 = 5

Если x = 50 = 9*5 + 5, y = 9*5 + 5 = 50 | Если x = 55 = 9*6 + 1, y = 9*1 + 6 = 15

Если x = 60 = 9*6 + 6, y = 9*6 + 6 = 60 | Если x = 65 = 9*7 + 2, y = 9*2 + 7 = 25

Если x = 70 = 9*7 + 7, y = 9*7 + 7 = 70 | Если x = 75 = 9*8 + 3, y = 9*3 + 8 = 35

Если x = 80 = 9*8 + 8, y = 9*8 + 8 = 80 | Если x = 85 = 9*9 + 4, y не получается

Значит, пары чисел могут быть такие:

(0; 0); (10; 10); ... (80; 80); (5; 45); (15; 55); (25; 65);

(35; 75); (45; 5); (55; 15); (65; 25); (75; 35).

Возможные суммы:

x + y = 0; 20; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100; 110; 120; 140; 160